申请刑事抗诉的答复方式是:由上级检察机关通过书面形式通知下级检察机关，上级检察院认为抗诉正确的,应当支持抗诉;认为抗诉不当的,应当向同级人民法院撤回抗诉,并且通知下级检察院。下级检察院认为上级检察院撤回抗诉不当的,可以提请复议。上级检察院应当作出复议,并将复议结果通知下级检察院。

一、申请刑事抗诉的答复方式是什么?

上级检察院认为抗诉正确的,应当支持抗诉;认为抗诉不当的,应当向同级人民法院撤回抗诉,并且通知下级检察院。下级检察院认为上级检察院撤回抗诉不当的,可以提请复议。上级检察院应当作出复议,并将复议结果通知下级检察院。上一级检察院在上诉、抗诉期限内发现下级检察院应当抗诉而没有抗诉的,可以指令下级检察院依法提出抗诉。

二、上诉的方式与程序

上诉可以用书状和口头两种形式提出。口头上诉应当制作笔录。

上诉可以通过原审人民法院提出,也可以直接向上一级人民法院提出。

(1)通过第一审人民法院提出上诉的，第一审人民法院应当审查上诉是否符合法律规定。符合法律规定的，应当在上诉期满后三日内将上诉状连同案卷、证据移送上一级人民法院，同时将上诉状副本送交同级检察院和对方当事人。

(2)直接向第二审人民法院提出上诉的，第二审人民法院应当在收到上诉状后三日以内将上诉状交第一审人民法院。第一审人民法院应当审查上诉是否符合法律规定。符合法律规定的，应当在接到上诉状后三日以内将上诉状连同案卷、证据移送上一级人民法院，同时将上诉状副本送交同级检察院和对方当事人。

上诉状内容应当包括：第一审判决书、裁定书的文号和上诉人收到的时间;第一审法院的名称;上诉的请求和理由;提出上诉的时间;上诉人签名或者盖章。如果是被告人的辩护人、近亲属经被告人同意提出上诉的，还应当写明提出上诉的人与被告人的关系，并应当以被告人作为上诉人。

上诉人在上诉期限内要求撤回上诉的,应当准许。是否提出上诉，以他们在上诉期满前最后一次的意思表示为准。

上诉人在上诉期满后要求撤回上诉的,应当由第二审人民法院进行审查。如果认为原判决认定事实和适用法律正确,量刑适当,应当裁定准许撤回上诉;如果认为原判决事实不清、证据不足或者将无罪判为有罪、轻罪重判等,应当不允许撤回上诉,并按照上诉程序进行审理。

对于在上诉、抗诉期满前撤回上诉、抗诉的案件，第一审判决、裁定在上诉、抗诉期满之日起生效;对于在上诉、抗诉期满后要求撤回上诉、抗诉，第二审人民法院裁定准许的，第一审判决、裁定应当自第二审人民法院裁定书送达原上诉人或者抗诉的检察机关之日起生效。

地方各级检察院对同级人民法院第一审判决、裁定的抗诉,应当通过原审人民法院提出抗诉书,并且将抗诉书抄送上一级检察院。原审人民法院应当在抗诉期满后3日以内将抗诉书连同案卷、证据移送上一级人民法院,并且将抗诉书副本送交当事人。

申请刑事抗诉的司法执行机关应当是由检察机关做出的，根据法律规定和检察机关的司法职能，检察机关应当对有异议的司法判决案件进行严格审查，如果确定法律适用有错误或者犯罪事实认定不当的，可以向上级检察机关申请抗诉，上级机关在审查后做出是否做出重新认定的决定，具体情况应当结合实际而定。