刑事附带民事公益诉讼的责任方式是：先追究民事责任后对刑事责任进行判罚处理，如果犯罪嫌疑人不履行民事责任的，那么可以加重民事责任的处罚后果，具体情况下应当司法机关结合实际认定。

一、刑事附带民事公益诉讼的责任方式是什么?

刑事附带民事公益诉讼的责任方式先处理民事责任，后追究刑事责任的方式进行。刑事附带民事诉讼是法院在审理刑事案件过程中，根据被害人等的申请或检察机关的提起，对由该犯罪行为所造成的直接物质损失的赔偿问题进行合并审理的诉讼活动。附带民事诉讼在整个刑事诉讼过程中都可以提起。如刑事案件已审结，则应单独作为民事案件审理。一般情况下附带民事诉讼应同刑事案件一并审判，但有时为防止刑事案件审判的过分延迟，也可以在刑事案件审判后，由同一审判组织继续审理附带民事诉讼部分。

二、司法解释

根据《中华人民共和国刑法》第三十六条、第三十七条和《中华人民共和国刑事诉讼法》第九十九条，以及《最高人民法院关于适用<中华人民共和国刑事诉讼法>的解释》第一百三十八条、第一百三十九条、第一百四十条、第一百四十一条、第一百四十二条的规定，刑事附带民事诉讼范围如下：

第一条 因人身权利受到犯罪侵犯而遭受物质损失或者财物被犯罪分子毁坏而遭受物质损失的可以提起附带民事诉讼。

对于被害人因犯罪行为遭受精神损失而提起附带民事诉讼的，人民法院不予受理。

第二条 被害人因犯罪行为遭受的物质损失，是指被害人因犯罪行为已经遭受的实际损失和必然遭受的损失。

第三条　被告人非法占有、处置被害人财产的，应当依法予以追缴或者责令退赔。被害人提起附带民事诉讼的，人民法院不予受理。追缴、退赔的情况，可以作为量刑情节考虑。

第四条　国家机关工作人员在行使职权时，侵犯他人人身、财产权利构成犯罪，被害人或者其法定代理人、近亲属提起附带民事诉讼的，人民法院不予受理，但应当告知其可以依法申请国家赔偿。

第五条　国家财产、集体财产遭受损失，受损失的单位未提起附带民事诉讼，人民检察院在提起公诉时提起附带民事诉讼的，人民法院应当受理。

第六条 人民法院审理附带民事诉讼案件，依法判决后，查明被告人确实没有财产可供执行的，应当裁定中止或者终结执行。

刑事附随民事诉讼的情况是非常常见的，因为在案件的审理过程中，犯罪分子造成了刑事责任的同时必然也对当事人的民事权益造成了侵害，所以不仅需要追究刑事责任，也是需要追究民事赔偿责任的，具体情况下应当结合实际来进行处理。