[拼音]：shuxue moxing fangfa

[外文]：mathematical modelling

对过程进行研究，以得到表示过程各有关参数与变量之间的关系的数学表达式的方法，是化学工程研究方法之一。一般来说，对过程进行如实的数学描述，也是一种数学模型方法，但其用途是很有限的，特别是对化学工程，因为过程比较复杂，往往难以进行如实的数学描述。因此，研究者设法对复杂过程作必要的、合理的简化，使之易于数学描述。简化了的过程称为实际过程的物理模型，由此得到过程各有关参数与变量之间关系的数学表达式，称为过程的数学模型，简称模型。通过实验，检验和修正模型并确定模型参数。这是现代广为应用的数学模型方法。

另一种研究方法，不从实际过程的分析、概括和简化着手，完全从实际测得的数据出发，按误差最小的原则，归纳出该过程各有关参数和变量间关系的数学表达式，这种方法有时也被称为数学模型方法，这是对数学模型方法的另一种理解。因此，习惯上将前一种方法得到的数学模型称为机理模型，将后一种方法获得的数学模型称为经验模型，以资区别。

数学模型方法在化学工程中的广泛应用，始于20世纪50年代，其原因是：

（1）化学反应工程研究的需要。化学反应工程研究化学反应与传递过程（物理过程）之间的交互影响。但是，理论可以证明，化学过程与物理过程并存时，不可能同时满足化学相似和物理相似条件。因而，化学工程中传统的因次分析和相似论方法不再适用，研究者必须寻找新的研究方法。

（2）计算机的普及使数学模型方法所需的数值计算成为可能。

数学模型方法对化学反应工程学科的建立起过重要的作用，目前已广泛应用于化学工程各个领域。

数学模型方法的关键是对过程作出合理的简化。例如，固定床反应器中，流体通过乱堆的催化剂颗粒层时，对各个颗粒作绕流流动，不断地分流和汇合，造成一定程度的返混，影响反应结果。研究返混现象，要对复杂的几何边界内发生的各种随机的分流和汇合，作出如实的数学描述极为困难。然而研究者发现，这种返混现象在一定范围内可以近似地以斐克扩散定律（见分子扩散）描述。因此，在考察返混时，流体流经乱堆颗粒层的流动，可以简化为在均匀的流动上，叠加了一个虚拟的扩散流。此返混模型称为分散模型（见流动模型）。用分散模型描述返混，则等温下固定床反应器内的反应过程，可经物料衡算用下式表示：

式中C为反应物浓度；x为轴向距离；u为流速；D_e为分散系数；-r为反应速率。分散系数D_e不是某种物性，而与颗粒的形状和堆置方式，以及流体的性质和流动条件等因素有关，须经实验测定。这种在建立数学模型时引入的待定参数称为模型参数。

上例指出，数学模型方法中所作的简化是某种概括。颗粒特性、流体性质和流动状态、分流和汇合等均未出现于数学模型中，而被概括在分散系数中。这种概括建立在等效性的基础上，即实际的返混现象等效于某个扩散现象。

数学模型建立以后，应进行专门的实验，以检验所作简化的合理性，并确定模型参数值。最早使用的方法是线性化法：将模型的数学表达式作某些数学变换，使之线性化。再由实验结果是否符合线性来检验模型的正确性，从斜率和截距值求取模型参数值。这种方法适用于模型参数和变量的数目较少的情况。变量较多，特别是模型参数较多时，则常采用最小二乘估计法、极大似然估计法和贝叶斯法等统计方法。这些方法都可编成程序，在计算机上实施。

数学模型方法是一种半理论、半经验的方法，与纯经验的实验研究方法相比较，它有两个优点：

（1）促使并帮助研究过程的实质。由于反映了过程较为本质的规律，研究结果较为可靠。

（2）实验工作量可大幅度地减少。实验的任务不再是全面测定各变量间的关系，而只是检验模型和测定模型参数。但是，当过程过于复杂，一时尚未能找到有效简化途径时，数学模型方法就难以奏效。