协整理论的内容

所谓的协整是指若两个或多个非平稳的变量序列，其某个线性组合后的序列呈平稳性。此时我们称这些变量序列间有协整关系存在。为了给出协整关系的精确定义，我们需要先给出单整的概念，如果一个时间序列{y_t}在成为稳定序列之前必须经过d次差分，则称该时间序列是d阶单整。记为y_t~I（d）。下面我们可以给出协整关系的精确定义，设随机向量X_t中所含分量均为d阶单整，记为X_t~I（d）。如果存在一个非零向量b，使得随机向量Y_t=bX_t~I（d-b）,b>0，则称随机向量X_t具有d，b阶协整关系，记为X_t~CI（d,b），向量b被称为协整向量。特别地，y_t和x_t为随机变量，并且y_t,x_t~I（1），当y_t=k₀+k₁x_t~I（0），则称y_t和x_t是协整的，（k₀,k₁）称为协整系数。

关于协整的概念，我们给以下说明：首先，协整回归的所有变量必须是同阶单整的，协整关系的这个前提并非意味着所有同阶单整的变量都是协整的，比如假定y_t,x_t~I（1），y_t和x_t的线性组合仍为I（1），则此时y_t和x_t虽然满足同阶单整，但不是协整的。其次，在两变量的协整方程中，协整向量（k₀,k₁）是唯一的，然而，若系统中含有k个变量，则可能有k-1个协整关系。协整检验和估计协整线性系统参数的统计理论构成了协整理论的重要组成部分。如果没有它们，那么协整在实践中便会失去其应有的重要作用。常用的协整检验有两种，即Engle-Granger两步协整检验法和Johansen协整检验法。这两种方法的主要差别在于Engle-Granger两步协整检验法两步法采用的是一元方程技术，而Johansen协整检验法采用的是多元方程技术。因此Johansen协整检验法在假设和应用上所受的限制较少。

1、Engle-Granger两步协整检验法

Engle-Granger两步协整检验法考虑了如何检验零假设为一组I（1）变量的无协整关系问题。他们用普通最小二乘法估计这些变量之间的平稳关系系数，然后用单位根检验来检验残差。拒绝存在单位根的零假设是协整关系存在的证据。我们从最简单的情况开始讨论，设两个变量y_t和x_t都是序列，考虑下列长期静态回归模型

y_t=b₀+b₁x_t+ & epsilon;_t（1）

对于上述的模型的参数，我们用最小二乘法给出其参数估计。利用MacKinnon给出的协整ADF检验统计量，检验在上述估计下得到的回归方程的残差 & epsilon;_t是否平稳（如果y_t和x_t不是协整的，则他们的任意组合都是非平稳的，因此残差 & epsilon;_t将是非平稳的）。也就是说，我们检验残差 & epsilon;_t的非平稳的假设，就是检验y_t和x_t不是协整的假设。更一般地，我们有以下具体方法：

（1）使用ADF检验长期静态模型中所有变量的单整阶数。协整回归要求所有的解释变量都是一阶单整的，因此，高阶单整变量需要进行差分，以获得I（1）序列。

（2）用OLS法估计长期静态回归方程，然后用ADF统计量检验残差估计值的平稳性。

2、Johansen协整检验法

当长期静态模型中有两个以上变量时，协整关系就可能不止一种。此时若采用Engle-Granger协整检验，就无法找到两个以上的协整向量。Johansen和Juselius提出了一种在VAR系统下用极大似然估计来检验多变量之间协整关系的方法，通常称为Johansen协整检验。具体做法是如下：

设一个VAR模型如下

Y_t=B₁Y_t-1+B₂Y_t-2+...+B_pY_t-p+U_t（2）

其中Y_t为m维随机向量，B_i（i=1,2,...,p）是m×m阶参数矩阵，U_t~IID（0, & sigma;）。我们将（2）式转换为

Y_t=

Y_t-i+ & phi;Y_t-p+U_t（3）

（3）式称为向量误差修正模型（VECM），即一次差分的VAR模型加上误差修正项 & phi;Y_t-p，设置误差修正项的主要目的是将系统中因差分而丧失的长期信息引导回来。在这里 & phi;_t=-（I-B_1-...-B_i）， & phi;=-（I-B_1-...-B_p）。参数矩阵 & phi;_i和 & phi;分别是对Y_t变化的短期和长期调整，m×m阶矩阵 & phi;的秩记为r，则存在三种情况：

（i）r=m，即 & phi;是满秩的，表示Y_t向量中各变量皆为平稳序列；

（ii）r=0， & phi;表示为空矩阵，Y_t向量中各变量无协整关系；

（iii）0 & phi;阵可以分解为两个m×r阶（满列秩）矩阵a和b的积，即 & phi;=ab'。其中a表示对非均衡调整的速度，b为长期系数矩阵（或称协整向量矩阵），即b'的每一行b_i'是一个协整向量，秩r是系统中协整向量的个数。尽管a和b本身不是唯一的，但b唯一地定义一个协整空间。因此，可以对a和b进行适当的正规化。

这样，协整向量的个数可以通过考察 & phi;的特征根的显著性求得。若矩阵 & phi;的秩为r，说明矩阵 & phi;有r个非零特征根，按大小排列为 & lambda;₁, & lambda;₂,..., & lambda;₃。特征根的个数可通过下面两个统计量来计算：

（4）

& lambda;_max=-Tlog（1- & lambda;r+1）（5）

其中 & lambda;_i是式（3）中 & phi;矩阵特征根的估计值，T为样本容量。

（4）式称为迹检验，

H₀:r

H₁:r=m

（5）式称为最大特征根检验，

H₀:r=q,q=1,2,...,m

H₁:r≤q+1

原假设隐含着 & lambda;_r+1= & lambda;_r+2=...= & lambda;_m=0，表示此系统中存在m-r个单位根，最初先设原假设有m个单位根，即r=0，若拒绝原假设H₀，表示 & lambda;₁ & gt;0，有一个协整关系；再继续检验有（m-1）个单位根，若拒绝原假设H₀，表示有两个协整关系；依次检验直至无法拒绝H₀为止。Johansen与Juselius在蒙特卡罗模拟方法的基础上，给出了两个统计量的临界值，目前大多数计量经济软件都直接报告出检验结果。关于这一节的具体计算，借助于统计分析软件包，我们可以很方便地得到计算结果，这里略去。